新書發表
統計學: 應用與進階, 陳旭昇著, 東華書局 (2007
年 9 月出版)
Statistics: Applications and Advances
本書特色
這本書或許不能成為一本暢銷書(至少眾多出版商是這麼認為), 但是如果你能細心閱讀,希望你會發現這是一本有個性的好書。讀者不難發現本書與一般初等統計教本之不同在於,我對敘述統計, 變異數分析著墨甚少,而無母數統計則是捨棄不提。相反地,我對於機率模型,隨機變數, 漸近理論(大樣本理論), 估計以及迴歸分析則有較一般初等統計更為深入的探討。這樣的內容取捨,相當程度地反映我個人的偏好。對於迴歸分析,我由母體迴歸方程式(迴歸的敘述統計)出發,之後再談樣本迴歸方程式(迴歸的機率模型),與一般教科書有顯著不同。此外,我加入了一章對於貝氏統計學的初淺介紹。依照我個人求學經驗,如果是一學年的統計學, 往往在上學期機率模型的部分講授貝氏定理後,就再也不曾將相關的貝氏概念應用在下學期的統計學。因此,年輕時的我往往有此困惑: 除了作例題,寫實習,應付考試之外,我們為什麼要學貝氏定理? 事實上, 在統計學中存在著兩大學派: 古典統計與貝氏統計。過去的初統教科書只講古典統計, 卻不教貝氏統計的理由很簡單,因為要把貝氏統計學以淺顯易懂的方式講授,是一件相當困難的事。我在此嘗試將貝氏統計講的深入淺出, 希望讀者對於古典統計之外的另一個重要學派,能夠擁有一定程度的理解。
適合讀者
本書可用於一學年之統計學教學,上學期為機率模型(第一章到第八章),
下學期則為統計推論(第九章到第十七章)。由於內容取捨,本書的潛在讀者定位在經濟,財金,國貿等科系之學生。偏向於理工組的商管科系如工管,管科等科系
的學生亦適用之。數學證明大多放在每一章的附錄中,提供喜歡較高難度挑戰,或是喜歡追根究柢的學生參考,但是略過證明不讀,並不會妨礙你對本書內容與觀念
的理解。
這不是一本高等統計或是數理統計的教科書,但是在高統與數統的內容上卻有相當之介紹。對於有心打好統計學基礎,將來想要繼續修習高等統計或是數理統計的學
生,過去的經驗是, 他們在一般的初統教科書所學到的知識, 與高等統計或是數理統計往往有一段不小的差距,本書希望夠將此差距縮小,
讓使用本書的學生在一頭栽進高統或數統繁瑣而生硬的數學之前,能夠先對相關議題建立直觀的理解與自信。
對於曾經修過統計學,但是期盼對於統計學的觀念能有進一步了解的研究生或是一般讀者,本書應有相當之參考價值。如果你對於高統或數統的教本望之生畏,不妨
由本書開始,重新建立你的統計學基礎。
目錄
序. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 11
1 統計學概說與資料處理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 14
1.1 什麼是統計學15
1.2 統計學的應用16
1.3 資料的種類16
1.4 資料的呈現17
資料的次數分配, 17 資料的敘述性衡量, 18
2 機率模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 22
2.1 導論23
2.2 集合理論24
其他重要集合運算, 26
2.3 機率模型27
2.4 條件機率29
2.5 獨立事件30
獨立與互斥, 30
2.6 貝氏定理32
2.7 Monty Hall悖論34
2.8 可能性的評估: 你對機率了解多少? 38
3 隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 42
3.1 隨機變數43
3.2 離散隨機變數與離散機率分配44
機率質量函數, 45 累積分配函數, 47 離散隨機變數
之期望值, 變異數與動差, 48 離散隨機變數的一個例子:
Bernoulli分配, 51
3.3 連續隨機變數與連續機率分配53
連續隨機變數之動差, 56 連續隨機變數的一個例子: 均勻
分配, 57 連續隨機變數之函數, 58 CDF法, 58 轉換
法, 59
3.4 動差生成函數60
3.5 Chebyshev不等式61
3.6 附錄62
證明轉換法, 62 證明Chebyshev不等式, 63
4 多變量隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 70
4.1 多變量離散隨機變數與其聯合機率分配71
邊際機率分配, 71 條件機率分配, 72 獨立的隨機變數,
73
4.2 多變量連續隨機變數與其聯合機率分配75
4.3 共變數76
4.4 多變量隨機變數之線性函數78
4.5 條件期望值與條件變異數81
4.6 機率模型的應用84
資產組合, 84
4.7 附錄85
證明−1 ρXY 1, 85 證明E(aX + b) = aE(X) + b ,
86 證明Var(aX + b) = a2Var(X), 86 證明E(X +
Y) = E(X) + E(Y), 86 證明Cov(X, X) = Var(X), 87
證明Cov(X, c) = 0, 87 證明Cov(X1 + X2, Y1 + Y2) =
Cov(X1, Y1) + Cov(X1, Y2) + Cov(X2, Y1) + Cov(X2 , Y2), 87
證明Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y), 87 證明
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y), 88 證明Var(X +
Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y), 88 證明性質22,
88 證明E(E(YX)) = E(Y), 89 證明Var(Y) =
E(Var(Y|X) + Var(E(Y|X)), 89
5 常用的離散隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 94
5.1 Bernoulli隨機變數95
5.2 Bernoulli隨機試驗過程95
5.3 阿國選里長96
5.4 Bernoulli隨機試驗過程97
5.5 二項分配99
5.6 Poisson 分配101
關於參數λ 的詮釋, 103
5.7 再訪「阿國選里長」103
5.8 附錄105
性質28之證明, 105 定理9之證明, 105
6 常用的連續隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 110
6.1 均勻隨機變數111
6.2 指數隨機變數114
6.3 指數隨機變數與Poisson 隨機變數之間的關係117
6.4 常態隨機變數118
有關常態分配的幾個重要事實, 119 常態隨機變數的重要
性質, 120 標準常態隨機變數的機率值之計算, 122
6.5 附錄123
證明W exp(1), E(W) = Var(W) = 1, 123
7 抽樣與抽樣分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 128
7.1 抽樣理論129
7.2 統計量130
7.3 抽樣分配131
7.4 與抽樣分配相關的重要分配131
卡方分配, 131 t 分配, 133 F 分配, 135
7.5 實際分配137
7.6 附錄139
證明Γ(n + 1) = nΓ(n), 139 卡方隨機變數的r 階動差, 140
卡方隨機變數的動差生成函數, 141 證明Cov( ¯X n , Xi −
¯X
n) = 0, 141 證明(n−1)S2
σ2 χ2(n − 1), 142
8 漸近理論與漸近分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 146
8.1 漸近理論147
8.2 收斂與隨機收斂147
8.3 弱大數法則與中央極限定理149
弱大數法則, 149 中央極限定理, 150
8.4 與隨機收斂相關之其他重要定理152
8.5 重要抽樣分配之極限性質155
9 貝氏統計學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 162
9.1 客觀機率與主觀機率163
9.2 貝氏統計學166
9.3 主觀機率與客觀機率的關連性172
9.4 貝氏統計與古典統計之比較172
10 古典統計學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 176
10.1 古典統計學概貌177
10.2 點估計177
10.3 區間估計178
10.4 假設檢定179
11 點估計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 180
11.1 點估計181
11.2 類比原則182
11.3 動差法183
11.4 最大概似法185
11.5 點估計式性質189
不偏性, 189 最小變異不偏估計式, 190 有效性, 194 一
致性, 197
12 區間估計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 206
12.1 區間估計207
區間估計的定義與概論, 207 一般化: 考慮不同的信心水
準, 210
12.2 區間估計式的一般化建構程序211
實際區間估計式, 211 近似區間估計式, 215
12.3 兩獨立樣本之區間估計216
兩均數之區間估計式, 217 兩變異數之區間估計式, 220
12.4 成對樣本之區間估計220
13 假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 224
13.1 假設檢定的基本觀念225
虛無假設與對立假設, 225 如何執行假設檢定?, 226
13.2 假設檢定程序229
13.3 檢定的p-值231
13.4 誤差機率與檢定力233
13.5 檢定力函數236
14 變異數分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 240
14.1 變異數分析的基本觀念241
14.2 單因子變異數分析242
14.3 平方和244
均方, 245
14.4 ANOVAMan 248
14.5 附錄250
證明SST=SSE+SSF, 250 定理33之證明, 250 定理34之
證明, 252
15 簡單迴歸分析(I): 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 256
15.1 迴歸分析的基本概念257
15.2 母體迴歸線258
最佳常數預測式, 260 最佳線性預測式, 261 母體迴歸
線之性質, 262 母體迴歸線的配適度衡量, 265
15.3 古典常態迴歸模型266
古典常態迴歸模型之介紹, 266 古典常態迴歸模型的另一
種表示法, 268
15.4 古典常態迴歸模型之估計270
類比原則, 271 最小平方法, 271 動差法, 273 最大概
似法, 273 最小平方估計式的一般性質, 275 最小平方
估計式的大樣本性質, 277
15.5 Gauss-Markov定理277
15.6 放寬有關自變數的假設278
15.7 迴歸分析的實例探討279
例一: 獨占廠商產品需求之估計, 279 例二: 儲蓄與投資,
280
15.8 附錄282
証明TV=EV+UV, 282 証明第(40), (41), (42), (43), 與
(44) 式, 282 証明第(45) 式與第(46) 式, 285 証明
Gauss-Markov定理, 287
16 簡單迴歸分析(II):統計推論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 292
16.1 迴歸係數的區間估計與假設檢定293
區間估計, 293 假設檢定, 294 統計顯著性與經濟顯著
性, 296
16.2 迴歸模型中的點預測與區間預測297
點預測, 297 預測誤差, 298 區間預測, 298 對於Yn+1
均值的預測, 299
16.3 配適度分析(變異數分析) 300
16.4 附錄304
證明第(9)式, 304 證明性質56 , 305
17 多元迴歸分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 308
17.1 遺漏變數偏誤309
17.2 多元迴歸模型309
17.3 多元迴歸模型的估計311
17.4 多元迴歸模型: 實例312
17.5 變異數分析與參數檢定313
17.6 多元迴歸模型的幾個重要議題315
完全線性重合, 315 虛擬變數, 316
參考文獻. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 330
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 331
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 331